Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
- смешанное число
— это 25/10; - отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
— это 25/10;Рациональные числа — это .
Термин имеет латинские корни, и в переводе «ratio» означает «число», «расчет», «разум», «рассуждение» и «нумерация». Но есть и другие переводы – «дробь» и «деление».
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – любое число, которое можно показать в виде дроби a/b. Здесь а – целое число, а b – натуральное.
Стоит напомнить, что:
- Целые числа – это все возможные числа, как отрицательные, так и положительные. И к ним же относится ноль. Главное условие – они не должны быть дробными. То есть -15, 0 и +256 можно назвать целыми числами, а 2,5 или -3,78 – нет.
- Натуральные числа – это числа, которые используются при счете, то есть они имеют «натуральное происхождение». Это ряд из 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. А вот ноль и отрицательные числа, как и дробные – к натуральным не относятся.
И если применить эти определения, то мы можем сказать, что:
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – это вообще все возможные числа, кроме бесконечных непериодических десятичных дробей. Среди них натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби.
Основные свойства рациональных чисел.
1. Упорядоченность. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: « » либо «=». Это правило — правило упорядочения и формулируют его вот так:
- 2 положительных числа a=ma/na и b=mb/nb связаны тем же отношением, что и 2 целых числа ma⋅nb и mb⋅na;
- 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a|;
- когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b.
2. Операция сложения. Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования, которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c. При этом само число c — это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b), а процесс нахождения этого числа называют суммирование.
Правило суммирования выглядит так:
3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.
4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.
5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.
6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.
7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.
8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.
9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.
10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.
11. Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.
12. Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.
13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:
14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.
15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.
16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a.